有关浮力模型的一些思考

前言

浮力可以说是中学阶段的一大难点，在此我想分享我学习浮力与压强模块的一些思考。希望对你能够有所帮助。
注:图片较多可能会出现加载较慢的情况，请见谅。

一、基本公式

1.阿基米德的浮力定律：浸入静止流体中的物体受到一个浮力，其大小等于该物体所排开的流体重力，方向垂直向上并通过所排开流体的重心。
表述为公式是：

$F_{浮}=G_{排}=\rho_{液}gV_{排}$

2.液体压强的计算公式：

$p=\rho_{液}gh$

其中 $h$ 代表该点到自由液面的高度差。

3.压强的定义式：

$p=\frac{F}{S}$

其中 $F$ 代表正压力。

二、对阿基米德定理的理解

【例题1】

有一个梯形物体浸没在水中，如图一所示，水的密度为$\rho$，深度为$H$，物块高度为 $h$ ，体积为 $V$ ，较小的下底面底面积为 $S$ ，与容器底紧密接触，其间无水，水面处的大气压强为 $P_{0}$ ，则该物体所受的浮力为（）
A. $\rho gV$
B. $\rho g(V-hS)$
C. $\rho gV-(P_{0}+\rho gh)$
D. $\rho gV-(P_{0}+\rho gH)S$

【解析】
假如这道题直接使用阿基米德定律进行计算，得出 $F_{浮}=\rho gV$ ，这是不对的。
首先我们要明确浮力的两点：

①浮力是水对于物体向上的力（合力）。
②用阿基米德算出来的浮力， $P_{0}$ 和 $p_{水}$ 都会包含进去，不需要再算（上下大气压抵消为0，上下 $p_{水}$ 抵消作为浮力）。

那么回到这道题，将梯形物块沿地面分为与底面紧密接触的矩形和剩下的两个三角形。其中三角形部分提供向上浮力，而矩形只收到向下压力。
（1）根据①我们知道，两个三角形（可看作完全浸没在水中）受到的斜向上的两股压力与其向下的压力，合成了竖直向上的 $F_{浮}$ ，再根据②，我们可以对三角形直接使用阿基米德原理，得出竖直向上的浮力为

$F_{浮}=\rho(V-Sh)g$

（根据图分析可得 $V_{三角形}=V-Sh$ ）。
（2）而矩形部分因为与地面紧密接触，受到的向下的压强为 $P_{0}+\rho g(H-h)$ ，那么压力就为

$F_{下}=P_{0}S+\rho g(H-h)S$

进而计算出：

$F_{合}=F_{浮}-F_{下}$ $=\rho Vg-\rho Shg -P_{0}S-\rho gHS+\rho ghS$ $=\rho gV-(P_{0}+\rho gH)S$

故答案选D

【总结】
①浮力是水对于物体向上的力。
②用阿基米德算出来的浮力，大气压强和水的压强都会包含进去，不需要再额外加上。

三、变化量问题

浮力中的变化量模型很多，其中部分很容易混淆，这里我会用 $I$ 和 $II$ 等代替每一过程并将不同力做区分。

个人习惯的符号对应：

$F_{浮}$ ——浮力

$F_{压}$ ——（水对容器）压力

$F_{N}$ ——（桌面对容器）支持力/（容器对桌面）压力

$T$ ——拉力

$S_{容}$ ——容器底面积（体积同理）

$S_{物}$ ——物体底面积（体积同理）

$\Delta h_{水}$ ——水面变化量

$\Delta h_{浸}$ ——（物体）浸入水深度

$\rho$ ——默认为水密度
我会尽量用文字描述这些物理量，以免造成歧义。

压强的变化量

这里研究的压强是容器对桌面的压强与水对容器底的压强。
【分析】
如图：

▫$I$：
只有容器压着桌面，容器对桌面的压强为

$p_{0}=\frac{G_{容}}{S_{容}}$

▫$I \to II$：
加水，压强变化了

$\Delta p=\rho gh$

也就是水对容器底的压强。

▫$II \to III$：
放入物体，整个桌面受到的力多了物体的重力，相当于在容器外放物体。这是因为水与物体的作用力与物体对水的作用力是相互作用力，在研究水、容器、物体的整体时会被相互抵消。因此我们得出，容器对桌面的压强变化量为

$\Delta p=\frac{G_{物}}{S_{容}}$

而水对容器底的压强则不同，从图中我们可以看出，水对容器底的压强变化量为

$\Delta p_{II\to III}=\rho g\Delta h$

根据体积我们知道

$V_{排}=S_{容}\Delta h$

那么就可以写出

$\Delta p_{II\to III}=\rho g\Delta h=\rho g\frac{V_{排}}{S_{容}}=\frac{F_{浮}}{S_{容}}$

你可能很想问：为什么水对容器底的压强和容器对桌面的压强一个是 $F_{浮}$ ，而另一个是 $G_{物}$ 呢？稍安勿躁，在接下来压力的变化量中我们会详细区别这两种力，在此之前，我们先简单总结一下刚刚分析的结论。

【结论】
从上述$I \to II$过程中我们可以看出：在只装水时，容器对桌面的压强和水对容器的压强只相差容器所产生的压强

$p_{水}+\frac{G_{容}}{S_{容}}=p_{容器底}$

从上述$II \to III$过程中我们可以看出：在放入物体后，容器对桌面的压强变化了 $\Delta p=\frac{G_{物}}{S{容}}$ ，水对容器的压强则变化了

$\Delta p=\frac{F_{浮}}{S_{容}}$

压力的变化量

我们研究的压力包括水对容器压力和桌面对容器支持力（容器对桌面压力）。这里我们先给出结论。
【结论】
在往只有水的容器中放入物体时：
①对于水的压力的变化量，有 $\Delta F_{压}=F_{浮}$ ，对应其压强变化量 $\Delta p=\frac{F_{浮}}{S{容}}$ 。
②对于桌面支持力的变化量，有 $\Delta F_{N}=G_{物}$ ，对应其压强变化量 $\Delta p=\frac{G_{物}}{S{容}}$ 。

【分析】
我们以这几个较常见的模型进行分析：

▫放入物体后，对于图中的A、B、C、D、E、F图，水的压力都增大了 $\Delta F_{压}=F_{浮}$ ，这是因为物体对水的作用力与水对物体的作用力（也就是浮力）互为相互作用力，大小相等，而水对容器增加的压力 $\Delta F_{压}$ 就是物体对水的作用力，可以理解为物体通过浮力这个媒介让水的压力变大。因此为了简便，我习惯将这部分 $\Delta F_{压}$ 记作 $F^{'}_{浮}$ （浮力的反作用力由水作用于容器底）

注意：物体通过浮力为媒介作用于水，在对水做受力分析时千万不要同时存在 $F^{'}_{浮}$ 与 $G_{物}$ 。

▫而桌面支持力只增加了 $\Delta F_{N}=G_{物}$ 。

注意：桌面支持力是桌面对容器的力，分析时应对容器整体（容器与其内的所有物品）进行受力分析；而水的压力是水对桌面的压力，分析时应对水分析。

因此，我们对于容器整体进行分析。A、B、C、D图中都相当与在容器外放物体，因为他们的浮力、拉力都是物体与水、物体与容器之间的相互作用力，在整个容器整体分析时会相互抵消，这种力称为系统的内力（内部的相互作用力）。而E、F两种情况可以看作一种漂浮的特例：他们的拉力是外界给予的，与容器没有关系。我们可以看作外力 $T$ 使物体的“重力”减少，于是有：

$\Delta F_{N}=G^{'}_{物}=G-T=F_{浮}$

特别的，对于F图的情况，我们需要审清题目条件，判断容器是否对其有支持力。

▫二者的区别其实就是分析方式的不同。选取的整体不同，获得的结果也会不同。也就是上文注意中的：
桌面支持力是桌面对容器的力，分析时应对容器整体（容器与其内的所有物品）进行受力分析；而水的压力是水对桌面的压力，分析时应对水分析。

浮力的变化量

根据浮力公式

$F_{浮}=G_{排}=\rho_{液}gV_{排}$

我们可以看出，浮力受 $\rho$ 和 $V_{排}$ 影响。因此在 $\rho$ 不变的情况下，有

$\Delta F_{浮}=\rho_{液}g\Delta V_{排}$

关于 $\Delta V_{排}$ 的计算请参见体积的变化量段。

体积的变化量

体积的变化量是又一大容易混淆的部分，也是浮力计算题的核心。在这里，我们主要研究物体挤开水的体积变化量 $\Delta V_{挤}$ 和物体浸入水中的体积变化量 $\Delta V_{排}$ ，如下图所示：

【分析】
图中 $\Delta L$ 是移动的距离变化量， $\Delta h_{水}$ 是水面上升的距离变化量， $\Delta h_{浸}$ 是浸入水中的深度变化量，之间的关系可以由图得出：

$\Delta L+\Delta h_{水}=\Delta h_{浸}$

在这张图上我们可以清晰地看出 $\Delta V_{排}$ 与 $\Delta V_{挤}$ 的区别，接下来我们分别讨论如何计算它们。

对于 $\Delta V_{排}$ ，除了可以用阿基米德定理的变形式求外，还可以用浸入水中的深度计算

$\Delta V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho g}=S_{物}\Delta h_{浸}$

对于 $\Delta V_{挤}$ ，我们观察图可以发现物体下降的部分将水挤到了容器两边，故有

$\Delta V_{挤}=S_{物}\Delta L=(S_{容}-S_{物})\Delta h_{水}$

那么这两者之间有何联系？我们观察右图，发现经由 $\Delta V_{挤}$ （对应图中蓝色阴影部分），我们可以实现将物体排开水的体积 $\Delta V_{排}$ （即图中的橙色阴影与蓝色阴影总和）进行转化，而转化后的体积正好是 $S_{容}\Delta h_{水}$ 。那么我们就可以得出 $\Delta V_{排}$ 的又一个计算公式：

$\Delta V_{排}=S_{容}\Delta h_{水}$

在这里我们分析的实际上是物体从未浸入液体到浸入液体的变化。假如物体已经浸入一部分，我们可以将已经浸入的部分分割并放到一边，因为它不会对体积计算产生任何影响。
此外，物块出水的情况与入水几乎一致，只是顺序颠倒。因此此结论依旧适用。

【结论】

$\Delta V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho g}=S_{物}\Delta h_{浸}=S_{容}\Delta h_{水}$ $\Delta V_{挤}=S_{物}\Delta L=(S_{容}-S_{物})\Delta h_{水}$

注意：图中的 $\Delta V_{1}$ 并不具有较大实际意义，在这里只作为一个中间量出现，不要和 $\Delta V_{排}$ 与 $\Delta V_{挤}$ 混淆。

深度的变化量

水深度、物体浸入深度、物体裸露长度这“三高”与密度的关系常常作为中考选择压轴的最后一问，我们先给出结论。

【结论】
对于上图的三种情况，物块 $m$ 的密度 $\rho$ 与水的密度 $\rho_{水}$ 的关系是：

$\frac{\rho_{水}}{\rho } =\frac{h_{3}-h_{2}}{h_{1}-h_{2}}$ $\frac{\rho_{水}}{\rho } =\frac{H_{3}-H_{2}}{H_{1}-H_{2}}$ $\frac{\rho_{水}}{\rho } =\frac{L_{1}-L_{3}}{L_{2}-L_{1}}$

其本质就是

$\Delta V_{物}=\Delta HS_{容}=\Delta hS_{物}=\Delta LS_{物}$

其中 $\Delta V_{物}$ 是 $M$ 的 $V_{排}$ 变化量。

【分析】
我们以 $h$ 的关系为例。

图中标注出了从①→②和①→③的 $\Delta V_{排}$ ，设①→②的深度变化量为

$\Delta h_{A}=h_{1}-h_{2}$

①→③的深度变化量为

$\Delta h_{B}=h_{1}-h_{3}$

对于①→②：

$\Delta V_{物A}=\Delta V_{排A}=\frac{\Delta F_{浮A}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$

对于①→③：

$\Delta V_{物B}=\Delta V_{排B}-V_{m}$ $=\frac{\Delta F_{浮B}}{\rho_{水}g}-\frac{m}{\rho}$ $=\frac{m}{\rho_{水}}-\frac{m}{\rho}$

这里的 $m$ 是m的质量，题目并没有给出，所以我们将其相比消去 $m$

$\frac{\Delta V_{物A}}{\Delta V_{物B}}=\frac{\frac{m}{\rho_{水}}}{\frac{m}{\rho_{水}}-\frac{m}{\rho}}=\frac{\frac{1}{\rho_{水}}}{\frac{1}{\rho_{水}}-\frac{1}{\rho}}=\frac{\rho}{\rho-\rho_{水}}$

我们可以发现，这条式子的推导中并未用到 $h$ ，所以这条式子对于其他深度也是适用的。接下来我们用 $h$ 将其化简。
对于左边的 $\frac{\Delta V_{物A}}{\Delta V_{物B}}$ 有

$\frac{\Delta V_{物A}}{\Delta V_{物B}}=\frac{\Delta h_{A}S_{物}}{\Delta h_{B}S_{物}}=\frac{\Delta h_{A}}{\Delta h_{B}}=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{3}}$

于是联立两式得到

$\frac{\rho}{\rho-\rho_{水}}=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{3}}$

接着将 $\frac{\rho}{\rho-\rho_{水}}$ 化为 $\frac{\rho}{\rho_{水}}$ 的形式（比例的性质）

$\frac{\rho}{\rho-(\rho-\rho_{水})}=\frac{h_{1}-h_{2}}{(h_{1}-h_{2})-(h_{1}-h_{3})}$ $\frac{\rho}{\rho-\rho+\rho_{水}}=\frac{h_{1}-h_{2}}{h_{1}-h_{2}-h_{1}+h_{3}}$ $\frac{\rho}{\rho_{水}}=\frac{h_{1}-h_{2}}{-h_{2}+h_{3}}$ $\frac{\rho_{水}}{\rho } =\frac{h_{3}-h_{2}}{h_{1}-h_{2}}$

【练习1】
小明有一不吸水工艺品，底座为质地均匀的柱形木块 $A$ ，其上有合金块 $B$ ，将工艺品如图甲放入水中，静止时木块浸入深度为 $h_{1}$ ，如图乙放入水中，静止时浸入水中深度为 $h_{2}$ ，工艺品所受浮力与甲相比____。（选填“变大”、“变小”或“不变”）若因粘合处松开合金块沉底，不计粘合材料影响，合金块密度为水的 $n$ 倍，当木块在水中竖直静止时，浸入深度 $h_{3}$ 为____。（用 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ 和 $n$ 表示）

水位的变化量

在浮力部分还有一种很经典的模型：在浮冰熔化/船上落石后水位的变化。
为了解决这类问题，我们展开浮力变化量的公式：

$\Delta F_{浮}=\rho_{液}\Delta V_{排}g=\rho_{液}S_{容}\Delta h_{液}g$

变形得

$\Delta h_{液}=\frac{\Delta F_{浮}}{\rho_{液}gS_{容}}$

接下来我们逐个分析各图的变化情况：
(A) 冰融化后可以看作悬浮在水中，因此 $F_{浮}$ 不变，也就是 $\Delta F_{浮}=0$ ，故 $\Delta h_{液}=0$ ，水位不变。
(B) 石头沉底，船与石头这个整体的浮力变小，从 $G_{船}+G_{石}$ 到 $G_{船}+G_{石}-F_{N}$ 。因此浮力变小， $\Delta F_{浮}$ 为负， $\Delta h_{液}$ 也为负，水位降低。
(C) 同(A)(B)，浮力增大，水位升高。
(D) 冰融化后看作漂浮在表面， $F_{浮}$ 不变，但 $\rho_{液}$ 因为稀释变小，于是水位升高。