有关摩擦角

前言

最近在读《新概念高中物理读本》时，发现了两道颇为有趣的题目以及其背后蕴藏的知识点，故作此文以记录。

前置知识

数学

常用的三角变换：

二倍角公式

$sin\alpha cos\alpha =\frac{1}{2}sin2\alpha$

辅助角公式

$asin \alpha +bcos\alpha =\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(\alpha+\phi),(ab\ne 0)$

其中

$tan\phi=\frac{b}{a}$

物理

全约束力与摩擦角^[1]
当有静滑动摩擦时，支承面对物体的约束力包含法向约束力 $F_{N}$ 和切向约束力 $F_{s}$（即静摩擦力）。为讨论问题的方便，在某些情况下，把这两个力合起来，即 $F_{RA}= F_{N} + F_{s}$ ，称为全约束力。全约束力的作用线与接触处的公法线间有一夹角$\phi$。当物块处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，偏角也达到最大值。称全约束力与法线间的夹角的最大值为摩擦角。
$tan \phi_{f}=\frac{F_{max}}{F_{N}}=\frac{\mu F_{N}}{F_{N}}=\mu$
即摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，摩擦角与摩擦因数一样，都是表示摩擦的一个重要物理量。

题目

【题目1】如图1-1所示，质量为 $m$ 的木块，在拉力 $F$ 的作用下，沿摩擦因数为 $\mu$ 的水平地面运动。求拉力 $F$ 最小时的牵引角 $\alpha$ 是多大？最小拉力是多少？

【解1】
显然此时受力平衡，受力分析，解得

$F=\frac{\mu mg}{\mu sin\alpha+cos\alpha}$

利用辅助角代换

$F=\frac{\mu mg}{\sqrt{\mu^{2}+1}sin(\alpha +\phi)}$ $tan\phi=\frac{1}{\mu}$

当$\alpha+\phi=\frac{\pi}{2}$时，分母达到最大值，$F$最小。于是有

$tan\alpha=tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=cot\phi=\mu$

此时有

$\alpha=arctan\mu$ $F_{min}=\frac{\mu mg}{\sqrt{\mu^{2}+1}}$

【解2】
如图，将$f$与$N$合力用$R$代替，可见

$tan\phi=\mu$

注意：这里的$\phi$与上文用辅助角公式的$\phi$不一样。
那么$R$的方向不变，这就变成了三力平衡问题。
由右图可见，当拉力$F\perp R$时，$F$最小，此时$\alpha =\phi$，$F_{min}=mgsin\phi$
因为

$sin\phi=\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}}$

所以

$F_{min}=\frac{\mu mg}{\sqrt{\mu^{2}+1}}$

【题目2】
如图1-2所示，质量为 $m$ 的木块，在大小为 $F$ 的拉力的作用下，沿摩擦因数为 $\mu$ 的水平地面加速运动。求加速度最大时的牵引角 $\alpha$ 是多大？最大加速度是多少？

【解1】（其实图都没换）
解法与上面高度相似
受力分析，解得

$a=\frac{F(cos\alpha +\mu sin\alpha)}{m}-\mu g$

辅助角转化

$a=\frac{F}{m}\sqrt{1+\mu^{2}}sin(\alpha +\phi)-\mu g$ $tan\phi=\frac{1}{\mu}$

当$\alpha+\phi=\frac{\pi}{2}$，即$tan\alpha=cot\phi=\mu$时

$a_{max}=\frac{F}{m}\sqrt{1+\mu^{2}}-\mu g$ $\alpha=arctan\mu$

【解2】
刚刚是平衡力，现在不是了怎么办？
简单，我们将$F$分出一部分$F_{1}$用来加速，剩下的$F_{0}$就照样按平衡分析。
因为加速度肯定向右，所以$F_{1}$也肯定向右，它越大加速度也就越大。
那么为了找出最大加速度时的角度，我们以$F$为半径，转动这个$F$，看看何时$F_{1}$最大。
注意这里的$R$的大小是可变的，因为$F$会减轻支持力。但方向不变，为$\phi=arctan\mu$

由图可见，当$F$运动到$P$点，也就是$R$的平行线的切点时，$F_{1}$最大。
由几何关系可以看出此时$\alpha=\phi$，也就是摩擦角。
于是列式

$a_{max}=\frac{F_{1}}{m}\\$ $=\frac{\frac{F-mgsin\phi}{cos\phi}}{m}\\$ $=\frac{F-mgsin\phi}{m cos\phi}\\$ $=\frac{\frac{F}{cos\phi}-mgtan\phi}{m}\\$ $=\frac{F}{mcos\theta}-gtan\theta\\$ $a_{max}=\frac{\sqrt{\mu^{2}+1}}{m}F-\mu g$ $\alpha=\phi=arctan\mu$